Que bom que vocênão veio.
A liberdade se ampliou
Eu nem me casei com o vento
E estou muito feliz!
(Joana Eleutério)
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sábado, 1 de dezembro de 2007
sexta-feira, 25 de maio de 2007
A origem da Geometria
A palavra geometria é composta de duas palavras gregas: geos (terra) e metron (medida). Esta denominação deve a sua origem à necessidade que, desde os tempos remotos, o Homem teve de medir terrenos.Ano após ano o Nilo transbordava do seu leito natural, espalhando um rico limo so- bre os campos ribeirinhos, o que constituía uma benção, a base de existência do país dos Faraós, que na época se circunscrevia a uma estreita faixa de terra às margens do rio. A inundação fazia desaparecer os marcos de delimitação entre os campos. Para demarcarem novamente os limites existiam os "puxadores de corda", os "harpedonaptas" que baseavam a sua arte essencialmente no conhecimento de que o triângulo de lados 3, 4, 5 é retângulo.As construções das pirâmides e templos pelas civilizações egípcia e Babilônica são o testemunho mais antigo de um conhecimento sistemático da Geometria.
sábado, 5 de maio de 2007
Aplicações dos fractais
A natureza está repleta de fractais, ao contrário do o mundo tecnológico que permanece essencialmente euclidiano. A tecnologia foi desenvolvida sem explorar a estrutura em várias escalas, apesar das forças cegas da Física e de milhões de anos de evolução atestarem a importância dos fractais. Recentemente algumas indústrias ou ramos do conhecimento começaram a explorar as formas fractais.
Eis alguns exemplos.
Medicina
A dimensão fractal é usada na medicina como método de diagnóstico quantitativo e objectivo de várias patologias. Um dos campos mais desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. As evidências experimentais sugerem que os tumores cancerosos têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais.
Fibras ópticas fractais
O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com muito baixa distorção. Lee Cook da Galileo Electro-Optics Corp. mostrou, através do uso de pavimentações recursivas, que os melhores empacotamentos de fibras ópticas são aqueles que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de feixes de fibras ópticas fractais, chamados multi-multifibras, os quais exibem um melhor contraste de imagem.
Misturadores fractais
Usando a natureza como fonte de inspiração, neste caso os pulmões, Marc-Olivier Coppens da Universidade Técnica de Delft desenvolveu um sistema para a mistura de dois fluidos que diminui a turbulência indesejada e normalmente associada ao transporte, mistura e distribuição
Os mercados financeiros
Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, por Mandelbrot, que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de potência (uma das impressões digitais dos fractais) o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição normal...
Usando as cotações do DJIA (Dow Jones Industrial Average, também conhecido por Dow) para o período entre 1 de Janeiro de 1990 e 31 de Dezembro de 2001, Huang obteve o valor de 1.484 para a dimensão fractal do Dow.
Eis alguns exemplos.
Medicina
A dimensão fractal é usada na medicina como método de diagnóstico quantitativo e objectivo de várias patologias. Um dos campos mais desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. As evidências experimentais sugerem que os tumores cancerosos têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais.
Fibras ópticas fractais
O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com muito baixa distorção. Lee Cook da Galileo Electro-Optics Corp. mostrou, através do uso de pavimentações recursivas, que os melhores empacotamentos de fibras ópticas são aqueles que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de feixes de fibras ópticas fractais, chamados multi-multifibras, os quais exibem um melhor contraste de imagem.
Misturadores fractais
Usando a natureza como fonte de inspiração, neste caso os pulmões, Marc-Olivier Coppens da Universidade Técnica de Delft desenvolveu um sistema para a mistura de dois fluidos que diminui a turbulência indesejada e normalmente associada ao transporte, mistura e distribuição
Os mercados financeiros
Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, por Mandelbrot, que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de potência (uma das impressões digitais dos fractais) o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição normal...
Usando as cotações do DJIA (Dow Jones Industrial Average, também conhecido por Dow) para o período entre 1 de Janeiro de 1990 e 31 de Dezembro de 2001, Huang obteve o valor de 1.484 para a dimensão fractal do Dow.
Dimensão de um Fractal
Tempestade no Capitólio.
A dimensão fractal dos relâmpagos (no espaço tridimensional) é 1.51. [J. Sañudo et al, Fractal Dimension of Lightning Discharge, Nonlinear Processes in Geophysics (1995)].
O triângulo de Sierpinski
O triângulo de Sierpinski é o conjunto resultante da remoção sucessiva do triângulo equilátero do centro, quando se divide um triângulo equilátero em quatrotriângulos iguais. No applet seguinte podemos visualizar os primeiros sete passos da sua construção carregando nos botões "previous stage" e "next stage".
Este conjunto tem algumas propriedades bastante curiosas:
Tem área zero, pois a cada passo a área reduz-se para 3/4 da área do passo anterior. Por exemplo se a área inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 3/4, ao fim do segundo é 3/4 × 3/4, ao fim do terceiro é 3/4 × 3/4 × 3/4, pelo que a área limite é 3/4 × 3/4 × 3/4 × ... = 0.
É infinito, pois em particular o conjunto de pontos que não são retirados da base do triângulo inicial é infinito. De facto, em cada passo retira-se à base do triângulo todos os pontos cuja distância ao vértice esquerdo é um múltiplo de L×(1/2)n, onde L é o comprimento dos lados, e n=1,2,... para as sucessivas iterações. Todos pontos cuja distância ao vértice esquerdo é o produto de L por um número irracional nunca são removidos, porque os números irracionais não são o quociente de dois inteiros, pelo que ficam no conjunto um número infinito de pontos da base.
É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na animação acima .
Fractais, esses conjuntos estяaиhos e ubíquos
Fractais [do latim fractus, fracção, quebrado] são formas em que as partes são semelhantes ao todo.
Quando o todo é uma ampliação exacta de uma parte, dizemos que o fractal é geométrico. Estes objectos foram inventados no início do séc. XX para mostrar que existiam objectos matemáticos interessantes, para além das curvas e superfícies regulares da geometria tradicional. Entres estes encontram-se o pente de Cantor, a curva do floco de neve, o triângulo de Sierpinski e o tapete de Sierpinski, os quais têm propriedades no mínimo exóticas.
Quando o todo é estatisticamente semelhante a uma ampliação de uma parte dizemos que o fractal é aleatório. Estes fractais, também chamados naturais, são bastante abundantes e poderemos admirar alguns deles ao longo deste ensaio.
Quando o todo é uma ampliação exacta de uma parte, dizemos que o fractal é geométrico. Estes objectos foram inventados no início do séc. XX para mostrar que existiam objectos matemáticos interessantes, para além das curvas e superfícies regulares da geometria tradicional. Entres estes encontram-se o pente de Cantor, a curva do floco de neve, o triângulo de Sierpinski e o tapete de Sierpinski, os quais têm propriedades no mínimo exóticas.
Quando o todo é estatisticamente semelhante a uma ampliação de uma parte dizemos que o fractal é aleatório. Estes fractais, também chamados naturais, são bastante abundantes e poderemos admirar alguns deles ao longo deste ensaio.
Fractais na vida real
Cymbiola imperialis –a concha dos moluscos desta espécie apresenta padrões que se assemelham aos triângulos de Sierpinski.
Fractais na vida real
Baobabe: árvore da África tropical, de tronco enorme, também conhecida por embondeiro.
Fractais
Por fractais entende-se formas geométricas complexas e irregulares. Esses padrões irregulares ocorrem na Natureza, como por exemplo, a diversidade de formas que pode assumir um floco de neve. Assim, uma curva matemática, ou forma, que procura imitar tais formas, recebe o nome de fractal.
Fractais na Natureza
To see a World in a Grain of Sand
And a Heaven in a Wild Flower,
Hold Infinity in the palm of your hand
And Eternity in an hour
- William Blake, "Auguries of Innocence"
Geometria microscópica
Muitas mais formas geométricas abundam no mundo natural em nosso redor, embora nem sempre visíveis a olho nú.
Ainda entre os minerais, a geometria está particularmente presente, sobretudo em elementos que tendem a cristalizar.
Ainda entre os minerais, a geometria está particularmente presente, sobretudo em elementos que tendem a cristalizar.
De resto, podemos facilmente verificar isso mesmo, sempre que observamos flocos de neve e gelo. Todos eles exibem um padrão que poderá ser mais ou menos complexo, mas sempre de base hexagonal, o que se torna verdadeiramente assombroso, sobretudo se dermos crédito à crença generalizada segundo a qual não existem dois flocos iguais.
E, obviamente, entre os cristais de minério propriamente ditos, as formas e figuras geométricas encontram-se profusamente representadas.
Para finalizar, mencionaremos apenas um outro tipo de estrutura geométrica, invisível, porém inevitavelmente presente sempre que nos encontramos perante qualquer manifestação de vida, tal como a conhecemos: a dupla hélice de Ácido Desoxirribonucleico, mais conhecido por ADN, existente no núcleo de todas as células vivas.
Conicas
Ao que se sabe, as secções cónicas começaram a ser estudadas pelo menos no século III a.C., muito embora tenham sido particularmente utilizadas pelos matemáticos e astrónomos do século XVII quando estes procuravam equacionar movimentos de vários objectos naturais.
No início do Renascimento, Nicolau Copérnio afirmava que as órbitas dos planetas então conhecidos eram circulares.
Algum tempo mais tarde, Johannes Kepler e depois Edmund Halley descreveram as órbitas de planetas e cometas, recorrendo à elipse.
Outros corpos celestes percorrem trajectórias em forma de hipérbole.
Galileu Galilei explicou o movimento de projécteis na Terra por intermédio da parábola.
No início do Renascimento, Nicolau Copérnio afirmava que as órbitas dos planetas então conhecidos eram circulares.
Algum tempo mais tarde, Johannes Kepler e depois Edmund Halley descreveram as órbitas de planetas e cometas, recorrendo à elipse.
Outros corpos celestes percorrem trajectórias em forma de hipérbole.
Galileu Galilei explicou o movimento de projécteis na Terra por intermédio da parábola.
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