O triângulo de Sierpinski é o conjunto resultante da remoção sucessiva do triângulo equilátero do centro, quando se divide um triângulo equilátero em quatrotriângulos iguais. No applet seguinte podemos visualizar os primeiros sete passos da sua construção carregando nos botões "previous stage" e "next stage".
Este conjunto tem algumas propriedades bastante curiosas:
Tem área zero, pois a cada passo a área reduz-se para 3/4 da área do passo anterior. Por exemplo se a área inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 3/4, ao fim do segundo é 3/4 × 3/4, ao fim do terceiro é 3/4 × 3/4 × 3/4, pelo que a área limite é 3/4 × 3/4 × 3/4 × ... = 0.
É infinito, pois em particular o conjunto de pontos que não são retirados da base do triângulo inicial é infinito. De facto, em cada passo retira-se à base do triângulo todos os pontos cuja distância ao vértice esquerdo é um múltiplo de L×(1/2)n, onde L é o comprimento dos lados, e n=1,2,... para as sucessivas iterações. Todos pontos cuja distância ao vértice esquerdo é o produto de L por um número irracional nunca são removidos, porque os números irracionais não são o quociente de dois inteiros, pelo que ficam no conjunto um número infinito de pontos da base.
É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na animação acima .
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