Teoria dos Números

Erdös foi um trabalhador incansável. Escreveu e foi co-autor de 1475 artigos científicos sobre Teoria dos Números e sobre Matemática Discreta tendo 485 co-autores. Porém, como o próprio Erdös costumava dizer, o esplendoroso número de artigos escritos nada revela. Os artigos têm de ser pesados, não contados: "nom numeratur, sed ponderantur". O seu modus operandi consistia em aparecer à porta de um colega matemático e declarar:"o meu cérebro está aberto". Trabalhava então com o anfitreão durante um ou dois dias até se aborrecer ou este ficar esgotado e, depois, seguia em frente para bater noutra porta. O seu mote de trabalho era "uma demostração em cada telhado". Fez matemática em mais de 25 países diferentes, concluíndo importantes demonstrações em locais remotos e, por vezes, publicando-as em revistas igualmente obscuras. Um colega, em sua homenagem, escreveu o seguinte poema: Uma conjectura tão grave como profunda É a de um círculo ser redondo Num artigo de Erdös Escrito em curdo É apresentado um contra-exemplo. (cit in Hoffman, 2000:14) Erdös era um emotivo. Por exemplo, tinha vários amigos entre os seres matemáticos mas apenas considerava intímos os números primos. Não simpatizava tanto com os números imaginários. Não tinha quaisquer objecções filosóficas contra estes números mas preferia limitar os seus instrumentos de trabalho aos números inteiros, racionais e irracionais. Isto sem falar do "Número de Erdös" que foi constituído em sua honra!
Paul Erdös
A sua capacidade de solucionar problemas era inacreditável. Eis um testemunho do seu colega George Prudy: "Em 1976, estávamos a tomar café na sala de convivio de matemática da A&M do Texas. Havia um problema no quadro relacionado com análise funcional, uma área acerca do qual Erdös nada sabia. Eu por acaso sabia que dois analistas tinham acabado de produzir uma solução de 30 páginas para o problema, com a qual estavam muito orgulhosos. Erdös olhou para aquilo e perguntou: 'O que é aquilo? É um problema?' Disse-lhe que sim. Ele levantou-se e pôs-se a olhar, com os olhos semicerrados, para o lacónico enunciado do quadro. Fez algumas perguntas sobre o que representavam os símbolos e então, sem esforço, escreveu uma solução de duas linhas" (cit in Hoffman, 2000:50).
Em 1936, Erdös encontrou Vázsonyi que estava a fazer investigação sobre um clássico teorema de grafos: o teorema de Königisberg de Euler estendendo-o ao caso infinito. Vázsonyi já tinha demostrado a condição necessária mas estava com dificuldade em demostrar a condição suficiente. Passados 20 minutos Erdös deu-lhe a demonstração.
Leonhard Euler
Também lhe é reconhecida uma extraordinária capacidade de pensar em mais de um problema ao mesmo tempo :"Andava à volta da sala, como um grande mestre a jogar partidas simultâneas de xadrez. Era muito estimulante. Tinhamos algum tempo para pensar enquanto ele trabalhava com os outros, antes de voltar para a nossa beira. E havia a possibilidade de ver os problema em que os outros estavam a trabalhar." - Ronald Rothschild.(cit in Hoffman, 2000: 51)
Trabalho de grupo
Era singularmente generoso no que diz respeito a partilhar problemas com os colegas. Quando, em 1994, Andrew Wiles(1953- ) demonstrou o Teorema de Fermat(1601-1665), Erdös não aprovou o facto de Wiles ter trabalhado isoladamente. Para Erdös, o teorema poder-se-ia ter demostrado mais cedo se tivesse sido partilhado o esforço da sua resolução.
Andrew Wiles (1953-) Fermat (1601-1665)
Ao contrário dos outros cientistas, os matemáticos não deixam um rasto de resultados laboratoriais para provar quem fez o quê. A primacia é por isso algo de muito importante. O falecido R.L.Moore (1882-1974), um importante matemático do Texas, dizia que "preferia que não se pensasse num teorema se não fosse eu a pensá-lo"(cit in Hoffman, 2000:43). Pelo contrário, para Erdös o importante é que alguém demostrasse um resultado, com ou sem a sua contribuição.
R.L.Moore (1882-1974)
No período em que esteve no Instituto de Estudos Avançados, Paul resolveu o extraórdinário problema da Teoria da Dimensão: a dimensão (indutiva) do conjunto dos pontos racionais no espaço de Hilbert (1862-1943). Os peritos achavam que a dimensão deveria ser zero ou infinito, visto que o espaço é homeomórfico ao seu quadrado. Erdös surpreendeu o mundo demonstrando que a dimensão é um.
Instituto de Estudos Avançados
Hilbert (1862-1943)
Em 1943, num artigo intitulado "On the law of interated logarithm", Erdös apresentou ao mundo o primeiro estudo sobre cardinais inacessiveís, fundamental para a moderna Teoria dos Conjuntos. Nesse mesmo ano viu a luz num artigo de Erdös e Tarski (1902-1983), e o Teorema de Erdös-Stone, que abriu o campo da Teoria dos grafos extremais, apareceu em 1946.
Tarski (1902-1983)
Erdös foi pioneiro na Teoria De Ramsey - teoria segundo a qual a desordem completa é impossível. O seu primeiro resultado foi mostrar que 71 pontos garantiam sempre a existência de um hexágono convexo, embora se pensasse que 17 pontos (24+1) eram suficientes (demonstrou-se que num conjunto suficientemente grande de pontos não é possível evitar a existência de hexágonos). Este problema voltou a ser abordado em 1996, após a morte de Erdös. Graham e Fan baixam para 70 o números de pontos necessários e, em 1997, o número voltou a ser diminuido para 37.
Graham, Erdös e Fun
Uma das contribuições mais fundamentais de Erdös foi ter desenvolvido uma nova e poderosa forma da demostração de existência chamada Método Probabílistico. Esta técnica foi introduzida em 1947 para solucionar um problema da Teoria de Ramsey. Em 1949, Erdös e Selberg (1917- ) demonstraram o Teorema dos Números Primos de Gauss segundo a qual, à medida que os números crescem e os números primos se tornam mais raros, a densidade é inversamente proporcional ao logaritmo natural; a distância média entre dois números consecutivos na proximidade de um dado n pode ser aproximada pelo log natural de n, tornando-se a aproximidade cada vez maior à medida que n aumenta.
Selberg (1917-)
Gauss (1777-1855)
Ainda nesse ano, Erdös demontrou que, se tivermos n+1 inteiros menores ou iguais a 2n, existem sempre dois deles que são primos relativos, isto é, dois deles são consecutivos. Por exemplo, seja n igual a 5. A conjectura diz que, se escolhermos 6 números inteiros do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} não podemos evitar que dois deles sejam primos relativos (isto é, que não têm qualquer divisor comum maior que 1). A conjectura falharia se pudessemos escolher 5 pois, neste conjunto existem 5 números pares: 2, 4, 6, 8, 10, todos eles partilhando, obviamente, o divisor 2.
Em 1966, Erdös e John Selfridge demonstraram que o produto de inteiros consecutivos nunca é uma potência. O trabalho só viria ser publicado em 1975.
John Selfridge
Em 1969, Cohen(1934-) demostrou que a Hipótese do Contínuo pode ser admitida como verdadeira ou falsa sem contradizer outros resultados sobre conjuntos infinitos. Para Erdös nada era mais revoltante:"Se fosse vivo daqui a mil anos, perguntaria se já existia uma solução para a Hipótese do Contínuo? Supondo que exista um inteligência infinita, poderia ela decidir se a Hipótese do Contínuo é verdadeira ou falsa? A maioria dos lógicos acham que isso não pode ser feito. Sim, a Hipótese do Contínuo é, de certa forma, indecidível. Mas é concebivel que uma inteligência infinita pudesse decidi-la, porque existem métodos de demostração que não conseguimos compreender mas que uma inteligência superior poderia compreender. Não quero dizer com isto que tais métodos já existam. Nem diria que acredito que tais métodos existam efectivamente. Mas poderiam existir."(Erdös, cit in Hoffman, 2000:226). Ainda àcerca da hipótese do contínuo, Paul costumava contar uma anedota sobre um homem que estava a tentar converter pessoas e que perguntava: "O que diria você a Jesus se o visse na rua?' Erdös diz que perguntaria a Jesus se a Hipótese do Contínuo era verdadeira. 'E haveria três respostas possíveis que Jesus poderia dar. Podia dizer: Gödel e Cohen já lhe ensianaram tudo o que há para saber sobre isso.' A segunda resposta seria: 'Sim, há uma resposta, mas, infelizmente, o seu cérebro ainda não está suficientemente desenvolvido para saber a resposta'. E Jesus podia ainda dar uma terceira resposta: 'O Pai, o Espírito Santo e Eu temos andado a pensar nisso desde muito antes da criação mas ainda não chegámos a uma conclusão'.(Erdös, cit in Hoffman, 2000:226).
Paul Cohen (1934-)
Gödel (1906-1978)
Em 1980, Erdös publicou com Vértesi um espectacular (adjectivo utilizado por László Babai in Notices of AMS, p.71) Teorema sobre interpolação: Dado qualquer sistema de nós, existe uma função contínua f tal que a sequência da interpolação dos polinómios de Lagrange de f nos dados nós diverge em quase todo o lado.
Lagrange(1736-1813)
Uma das discussões mais antigas em filosofia da matemática é se a matemática é criada ou descoberta. A opinião de Erdös é a seguinte:"Se acreditamos em Deus, a resposta é obvia. As verdades matemáticas já existem na mente do SF (Deus) e nós limitamo-nos a redescobri-las. Lembrem-se do poema humorístico: Havia um homem que dizia "Deus Sempre me pareceu estranho Que a árvore do sicômoro Simplesmente deixasse de existir Quando não estivesse ninguém no pátio." "Caro senhor, o seu espanto é estranho; Eu estou sempre no pátio: E é por isso que a árvore Continua a existir, Uma vez que é observada pelo, Fielmente seu, Deus". "Não sou competente para dizer se Deus existe ou não. Tenho algumas dúvidas que exista. No entanto, estou sempre a dizer que o SF (Deus) tem um Livro transfinito - sendo transfinito um conceito matemático que significa maior que o infinito - que contém as melhores demostrações de todos os teoremas matemáticos, demonstrações que são elegantes e perfeitas". (Erdös, cit in Hoffman, 2000:30) Nesse sentido, o maior elogio que Erdös podia fazer a um colega era dizer que a sua demostração tinha saído do Livro.
O Livro
Outra questão filosófica que se coloca à matemática é relativa à sua adequação à realidade. Erdös aceitava que pudesse existir essa adequação. Na verdade, ao contrário de G.H. Hardy(1877-1947) que elogiava o seu trabalho por ser completamente inútil mal sabendo que o seu trabalho sobre números primos iria mais tarde ser utilizado pelo Pentágono como base de códigos secretos, para Erdös tudo o que podia ser utilizado para o mal, poderia também ser utilizado para o bem"Afinal, as equações diferenciais que regulam a difusão de gases venenosos são as mesmas que governam o espalhamento de poluentes. Assim, podemos espalhar gases venenosos deliberadamente mas também podemos evitar o espalhamento da poluição." (Erdös, cit in Hoffman, 2000:169)
G.H.Hardy
Para Paul a matemática era ordem e beleza no seu estado mais puro, ordem essa que transcendia o mundo físico. "É como perguntar porque é bela a sinfonia de" Beethoven? Se não vê porquê, ninguém poderá explicar-lhe. Sei que os números são belos. Se não são belos, então nada o é." (Erdös, cit in Hoffman, 2000:46)
Beethoven
Livros Publicados por Erdös* Combinatorics, Geometry and Probability : A Tribute to Paul Erdos by Paul Erdos (Editor), Andrew Thomason (Editor)(Hardcover - July 1997)';,* Professional Mail Surveys by Paul L. Erdos(Hardcover - September 1983)';, * The Mathematics of Paul Erdos (Vol 2)(Algorithms and Combinatorics, Vol 14) by Paul Erdos (Editor), Jaroslav Nesetril (Editor)(Hardcover - November 1996)';,* Lattice Points (Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 39) by Paul Erdos, et al(Hardcover - April 1989)';, * The Physics of Actinide Compounds by Paul and Robinson, John M. Erdos(Hardcover - June 1983)';, * Collected Papers of Paul Turan by Paul Erdos(Hardcover - December 1990)';, * Paul Erdos : The Art of Counting by Paul Erdos(Textbook Binding - October 1973)';,* Combinatorial Set Theory : Partition Relations for Cardinals : Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Series by Paul Erdos(Hardcover - July 1984)